Table des matières

1.Résultats de cours

1.1.Résultats toujours vrais

1. $E(aX+bY)=aE\left(X\right)+bE\left(Y\right)$

2. $V(aX)=a^{2}V\left(X\right)$

1.2.Résultats vrais lorsque $X$ et $Y$ indépendantes

1. $V(X+Y)=V\left(X\right)+V\left(Y\right)$.

   contre exemple dans le cas $X$ et $Y$ dépendants : prendre $Y=-X$.

2. $E(XY)=E\left(X\right)E\left(Y\right)$

   contre exemple dans le cas $X$ et $Y$ dépendants : prendre $Y=X$.

   Preuve : $E(XY)={\sum }_{i,j}{x}_i{y}_{j}p(X=x_i\cap Y=y_j)={\sum }_{i,j}{x}_i{y}_{j}p(X=x_i)\times p(Y=y_j)={\sum }_i{x}_{i}p(X=x_i)\times {\sum }_j{y}_{j}p(Y=y_j)=E\left(X\right)E\left(Y\right)$.

2.Variables liées entre elles

1. Somme de deux variables

   1. Quel est l'autre nom de la loi $B(m=1;p=\frac{1}{2})$ ?

   2. On donne $$$Z,T$ des variables aléatoires indépendantes avec :

      ${\displaystyle \begin{array}{rcl}& Z\sim B(n,\frac{1}{2})& \text{où}n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\\ & T=aX+b& \text{où}a,b\in ℝ\end{array}}$

      Peut-on trouver $n,a,b$ tels que $\{\begin{array}{l}𝔼\left(Z\right)=𝔼\left(T\right)\\ \mathrm{et}\\ V\left(Z\right)=V\left(T\right)\end{array}.$ ? (

      Réponse $\{\begin{array}{l}n\in \mathbb{N}\\ a=\sqrt{n}\mathrm{ou}-\sqrt{n}\\ b=a^2-2a\end{array}.$.

2. $X$ suit la loi $B(2n,p)$ où $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $p<]0;1[$. On demande l'espérance de $Y=\lfloor {\displaystyle \frac{X}{2}}\rfloor$.

   Réponse :

   ${\displaystyle \begin{array}{rcl}𝔼\left(Y\right)& =& \sum _{u=0}^{2n}u\cdot p(Y=u)\\ & =& \sum _{u=0}^{n}u\cdot p(X=2u\text{ou}X=2u+1)\\ & =& \frac{1}{2}\sum _{u=0}^n\left(2u\right)\cdot p(X=2u)+\frac{1}{2}\sum _{u=0}^{n-1}(2u+1)\cdot p(X=2u+1)-\frac{1}{2}\sum _{u=0}^{n-1}p(X=2u+1)\\ & =& \frac{1}{2}𝔼\left(X\right)-\frac{1}{2}\underset{\text{1/2}}{\underbrace{p\left(X\text{impair}\right)}}\\ & =& \begin{array}{c}\frac{1}{2}(𝔼\left(X\right)-\frac{1}{2})\end{array}.\end{array}}$

3. On donne :

   $A$ à valeurs uniformes dans $\left[|-10;10|\right]$

   $B$ à valeurs uniformes dans $\{A-{\displaystyle \frac{3}{2}};A+{\displaystyle \frac{3}{2}}\}\cap \left[|-10;10|\right]$.

   Donner la loi de $B$.

   Image :

   Figure 1.

3.Covariance

3.1.Résultats de base

• On définit $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E\left(X\right)E\left(Y\right)$, généralisation de $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-E^2\left(X\right)$.

• Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$

  On sait que $X,Y$ indépendantes $\Rightarrow$ $E(XY)=E\left(X\right)E\left(Y\right)$.

• Si $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$, cela n'implique pas que $X,Y$ indépendantes

  Contre exemple : Soit $Z$ à valeurs unifomes dans $\{-1;+1\}$, et soit $X$ quelconque indépendante de $Z$. Alors $\mathrm{Cov}(X,ZX)=0.$

  Preuve : $X$ et $Z$ étant indépendantes, on a :

  ${\displaystyle \begin{array}{rcl}& & E(Z{X}^2)=E\left(Z\right)\times E(X^2)=0\\ & \text{et}& E(ZX)=E\left(Z\right)\times E\left(X\right)=0\end{array}}$

  donc $\mathrm{Cov}(ZX,X)=0$.

• Translation : $\mathrm{Cov}(a+X,Y)=\mathrm{Cov}(X,Y)$.

• Coeff corrélation = ${\displaystyle \frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sigma \left(X\right)\times \sigma \left(Y\right)}}$.

3.2.Exercices

1. Montrer que $V(X+Y)=V\left(X\right)+V\left(Y\right)+2\mathrm{Cov}(X,Y)$.

2. Démontrer que $\mathrm{Cov}(X,Y)=E\left((X-\mu )(Y-{\mu }^{\text{'}})\right)$ où l'on note {

   $\mu =E\left(X\right)$

   ${\mu }^{\text{'}}=E\left(Y\right)$

   ..

   C'est une généralisation de $V\left(X\right)=E\left({(X-\mu )}^2\right)$.

   Image : si $X$ et $Y$ sont « en même temps » au-dessus de leur espérance, alors $\mathrm{Cov}(X,Y)>0$.

3. Soient $X,Y$ de Bernoulli vérifiant $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$. Alors $X,Y$ indépendantes.

   Preuve : il suffit d'étudier les quatre cas :

   Si $X\sim B\left(p\right)$ et $Y\sim B\left(p^{\text{'}}\right)$ alors $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$ implique $E(XY)=p{p}^{\text{'}}$, on a donc $p(X=1\cap Y=1)=p(X=1)\times p(Y=1)$, et on recommence en utilisant le fait que $\mathrm{Cov}(1-X,Y)=\mathrm{Cov}(X,1-Y)=\mathrm{cov}(1-X,1-Y)=0.$

3.3.Produit scalaire

3.3.1.Rappels de cours

$(X,Y)\mapsto \mathrm{cov}(X,Y)$ peut donc définir un produit scalaire dont la norme associée est :

Preuve :

$V(X+Y)=V\left(X\right)+V\left(Y\right)+2\mathrm{Cov}(X,Y)$ donc

3.3.2.Exercices

1. $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires réelles. Montrer que :

   ${\displaystyle \left|\mathrm{cov}(X,Y)\right|⩽\sqrt{V\left(X\right)V\left(Y\right)}.}$

   Réponse : On écrit que $V(X+\lambda Y)⩾0$ pour toute valeur de $\lambda \in ℝ$, et c'est un exercice de second degré. En fait, c'est une variante de $\left|⟨x,y⟩\right|⩽||x||\times ||y||$.

4.Plusieurs lois géométriques

Si $X\sim G\left(p\right)$ alors $\Omega \left(X\right)=\{1;2;3;\dots \}$ et pour tout $k⩾1$ : $p(X=k)=q^{k-1}p$.

4.1.Deux lois géométriques

$X,Y$ indépendantes suivent $G\left(p\right)$ avec $p\in ]0,1[$ ; on pose $q=1-p$.

Loi de $(U,V)$ avec $U=min(X,Y)$ et $V=max(X,Y)$

• Soient $1⩽k<\ell$, alors :

  ${\displaystyle \begin{array}{rcl}p((U,V)=(k,\ell ))& =& p(X=\ell )\times p(Y=k)+p(X=k)\times p(Y=\ell )\\ & =& 2p^2{q}^{k+\ell -2}.\end{array}}$

• Si $k=\ell$, alors $p((U,V)=(\ell ,\ell ))=p^2{q}^{2\ell -2}$.

• Si $k>\ell$, alors $p((U,V)=(k,\ell ))=0$.

Vérification : On fait la double somme, ou trouve 1 :

En fait la vérification peut se faire directement par un principe de double somme, cliquer sur le point : $$.

$p(U=k)=p(X=Y=k)+p(X=k)\times p(Y>k)+p(Y=k)\times p(X>k)$, on trouve donc :

de même : $p(V=k)=p(X=Y=k)+p(X=k)\times p(Y<k)+p(Y=k)\times p(X<k)$ donc :

Autre méthode : $p(U=k)=\sum _{\ell ⩾k}p((U,V)=(k,\ell ))$.

Remarque 1. On ne peut pas espérer vérifier nos résultats en calculant d'un côté $p((U,V)=(k,\ell ))$ et de l'autre $p(U=k)\times p(V=\ell )$, car $U$ et $V$ ne sont pas du tout indépendants.

• si $k>0$, $p(W=k)=2p^2{q}^{k-1}(1+q^2+q^4+\cdots )={\displaystyle \frac{2p{q}^{k-1}}{1+q}}$ ;

• pour $k=0$ on a $p(W=0)=p^2(1+q^2+q^4+\cdots )={\displaystyle \frac{p}{1+q}}$.

$Z\left(\Omega \right)=\{2;3;\dots \}$ et l'on a simplement $$:

4.2.$n$ lois géométriques

$X_1,X_2,\dots ,X_n$ mutuellement indépendantes suivent $G\left(p\right)$ avec $p\in ]0,1[$ ; on pose $q=1-p$.

On a $Z_n\left(\Omega \right)=\{n,n+1,\dots \}$ puis $p(Z_n=k)={\displaystyle \left(\begin{array}{c}k-1\\ n-1\end{array}\right)}{p}^n{q}^{k-n}$. Cela se démontre simplement par récurrence sur $n$.

On a :

et :

4.3.Deux lois « presque » géométriques

banque CCP 2018 exo 106

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes et à valeurs dans $\mathbb{N}$, qui suivent la même loi définie par : $\forall k\in \mathbb{N},P(X=k)=P(Y=k)=p{q}^k$, où $p\in ]0,1[$ et $q=1-p$.

On considère alors les variables $U$ et $V$ définies par $U=max(X,Y)$ et $V=min(X,Y)$.

1) Déterminer la loi du couple $(U,V)$.

2) Déterminer les lois marginales de $U$ et de $V$.

Réponse : $V\left(\Omega \right)=\mathbb{N}$ et $\forall n\in \mathbb{N},P(V=n)=p{q}^{2n}(1+q)$.

3) Prouver que $W=V+1$ suit une loi géométrique. En déduire l'espérance de $V$.

4) $U$ et $V$ sont-elles indépendantes ?

non

5.Plusieurs lois de Poisson

Note 2. Si $X\sim P\left(\lambda \right)$ alors $\Omega \left(X\right)=\{0;1;2;3;\dots \}$ et pour tout $k⩾0$ : $p(X=k)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}}$.

5.1.Deux lois de Poisson

$X,Y$ indépendantes suivent $P\left(\lambda \right)$ avec $l>0$.

Loi de $(U,V)$ avec $U=min(X,Y)$ et $V=max(X,Y)$

• Soient $0⩽k<\ell$, alors :

  ${\displaystyle \begin{array}{rcl}p((U,V)=(k,\ell ))& =& p(X=\ell )\times p(Y=k)+p(X=k)\times p(Y=\ell )\\ & =& 2{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}}\times {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda }{\lambda }^{\ell }}{\ell !}}\\ & =& 2{\mathrm{e}}^{-2\lambda }\times {\displaystyle \frac{{\lambda }^k}{k!}}\times {\displaystyle \frac{{\lambda }^{\ell }}{\ell !}}\\ & =& 2{\mathrm{e}}^{-2\lambda }{\displaystyle \frac{{\lambda }^{k+\ell }}{(k+\ell )!}}\left(\begin{array}{c}k+\ell \\ k\end{array}\right).\end{array}}$

• Si $k=\ell$, alors $p((U,V)=(\ell ,\ell ))={\mathrm{e}}^{-2\lambda }{\displaystyle \frac{{\lambda }^{2\ell }}{\left(2\ell \right)!}}{\displaystyle \left(\begin{array}{c}2\ell \\ k\end{array}\right)}$.

• Si $k>\ell$, alors $p((U,V)=(k,\ell ))=0$.

Vérification : pour la double somme, aucun besoin de calculer explicitement car :

Pas facile à simplifier, on trouve $p(U=k)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-2\lambda }{\lambda }^k}{k!}}({\displaystyle \frac{{\lambda }^k}{k!}}+2{\sum }_{i>k}{\displaystyle \frac{{\lambda }^i}{i!}})$.

Et $p(U=k)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-2\lambda }{\lambda }^k}{k!}}({\displaystyle \frac{{\lambda }^k}{k!}}+2{\sum }_{i<k}{\displaystyle \frac{{\lambda }^i}{i!}})$.

On a

donc $X+Y$ suit tout simplement la loi $P\left(2\lambda \right)$.

On prend cette fois-ci des paramètres différents, $X^{\text{'}}\sim P\left(\lambda \right)$ et $Y^{\text{'}}\sim P\left(\mu \right)$, on montre sans peine que $Z^{\text{'}}$ suit la loi $P(\lambda +\mu )$.

5.2.$n$ lois de Poisson

Par une récurrence assez simple, on montre que $Z_n$ suit la loi $P\left(n\lambda \right)$.

5.3.Combinaisons particulières

1. On pose pour $k\in \mathbb{N}$ : $p(X=k)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}}(a+bk)$.

   1. Trouver une relation entre $a$ et $b$ pour que $X$ soit bien une variable aléatoire.

   2. Calculer $E\left(X\right)$.

   3. Calculer $V\left(X\right)$.

   Réponses :

   1. On a :

      ${\displaystyle \begin{array}{rcl}\sum _{k⩾0}p(X=k)& =& a\sum _{k⩾0}{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}}+\lambda b\sum _{k⩾1}{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda }{\lambda }^{k-1}}{(k-1)!}}\\ & =& a+\lambda b,\end{array}}$

      d'où

      $a+\lambda b=1$

      .

   2. On a :

      ${\displaystyle \begin{array}{rcl}E\left(X\right)& =& a\sum _{k⩾0}k{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}}+\lambda b\sum _{k⩾1}k{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda }{\lambda }^{k-1}}{(k-1)!}}\\ & =& a\lambda +\lambda b\sum _{k⩾1}(k-1+1){\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda }{\lambda }^{k-1}}{(k-1)!}}\\ & =& a\lambda +\lambda b(\lambda +1),\end{array}}$

      d'où :

      ${\displaystyle \begin{array}{c}E\left(X\right)=\lambda (b+1)\end{array}.}$

   3. On calcule $E{\left(X\right)}^2$ :

      ${\displaystyle \begin{array}{rcl}E{\left(X\right)}^2& =& {\lambda }^2{(b+1)}^2.\end{array}}$

      On calcule $E\left(X^2\right)$, pour cela on pose $Y,Z\sim P\left(\lambda \right)$ et l'on écrit :

      ${\displaystyle p(X=k)=ap(Y=k)+b\lambda p(Z+1=k),}$

      et l'on sait que $E\left(Y^2\right)=E\left(Z^2\right)=V\left(Y\right)+E^2\left(Y\right)=\lambda +{\lambda }^2$ donc :

      ${\displaystyle \begin{array}{rcl}E\left(X^2\right)& =& aE\left(Y^2\right)+b\lambda E\left({(Z+1)}^2\right)\\ & =& aE\left(Y^2\right)+b\lambda (E\left(Z^2\right)+2E\left(Z\right)+1)\\ & =& (a+b\lambda )(\lambda +{\lambda }^2)+2b\lambda \lambda +b\lambda \\ & =& \lambda +{\lambda }^2+2b\lambda \lambda +b\lambda \\ & =& \lambda (1+b)+{\lambda }^2(1+2b).\end{array}}$

      d'où :

      ${\displaystyle \begin{array}{c}V\left(X\right)=\lambda +\lambda b-{\left(\lambda b\right)}^2\end{array}.}$

5.3.1.Feuilles de l'arbre

Sam regarde par la fenêtre les feuilles tomber d'un arbre. On admet que le nombre de feuilles tombées en une heure est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda >0$.

1) Démontrer que l'espérance et la variance d'une variable de Poisson de paramètre $\lambda$ sont égales à $\lambda$.

2) À chaque fois qu'une feuille tombe par terre, Sam lance une pièce qui donne pile avec une probabilité $p\in ]0,1[$ et face avec probabilité $q=1-p$.

On note $F$ et $P$ le nombre de faces et de piles obtenus respectivement.

a) Pour $k\in \mathbb{N}$ fixé, déterminer $P_{X=k}(F=a)$ puis $P(X=k\cap F=a)$.

b) Déterminer la loi de $F$ et celle de $P$.

3) Calculer $E[PF]$ et $\mathrm{Var}[P+F]$.

2) $\left[F\text{sachant}X\right]$ est une loi binomiale, et on trouve finalement par le système complet $(X=k)$ que $P$ suit la loi $P\left(\lambda p\right)$ et $F$ suit $P\left(\lambda q\right)$.

3) On montre que $P$ et $F$, contre l'intuition, sont indépendantes, par :

6.Mélange de lois

6.1.Une binomiale et une Poisson

1. $N\sim P\left(\lambda \right)$ et ${\displaystyle \{\begin{array}{l}Y\sim B(N,p)\\ Z\sim B(N,q)\end{array}.}$$$ avec $p+q=1$. Montrer que ${\displaystyle \{\begin{array}{l}Y\sim P\left(\lambda p\right)\\ Z\sim P\left(\lambda q\right)\end{array}.}$ et que $Y$ et $Z$ sont indépendantes.

   Présentation plus concrète :

   $N\sim P\left(\lambda \right)$ est le nombre de candidats à un examen, sachant que la probabilité pour un candidat d'être reçu est $p$ et que les résultats des candidats sont mutuellement indépendants. Donner la loi de $Y$, le nombre de candidats reçus, et $Z$ le nombre de candidats recalés, et déterminer si $Y$ et $Z$ sont indépendantes ou pas.

   $$On trouve :

   ${\displaystyle \begin{array}{rcl}p(Y=k)& =& \sum _{n⩾k}p(N=n)\times p_{N=n}(Y=k)\\ & =& \sum _{n⩾k}\frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda }{\lambda }^n}{n!}\times \left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)p^k{q}^{n-k}\\ & =& p^k\frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}\times \underset{={\mathrm{e}}^{\lambda q}}{\underbrace{\sum _{n⩾k}\frac{{\lambda }^{n-k}}{(n-k)!}{q}^{n-k}}}\\ & =& {\left(p\lambda \right)}^k\frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda p}}{k!},\end{array}}$

   donc $Y\sim P\left(\lambda p\right)$. Par analogie, $Z\sim P\left(\lambda q\right)$.

   Ensuite :

   ${\displaystyle \begin{array}{rcl}p(Y=k\cap Z=\ell )& =& p(N=k+\ell )\times p_{N=k+\ell }(Y=k\cap Z=\ell )\\ & =& \frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda }{\lambda }^{k+\ell }}{(k+\ell )!}\times p^k{q}^{\ell }\left(\begin{array}{c}k+\ell \\ k\end{array}\right)\\ & =& p(Y=k)\times p(Z=\ell ),\end{array}}$

   donc, contrairement au bon sens qui se laisserait abuser par la relation $Y+Z=N$ qui semble les voir dépendantes, en fait $Y$ et $Z$ sont indépendantes

6.2.Deux uniformes

1. $N$ uniforme dans $\{1,\dots ,n\}$ et $B$ uniforme dans $\{1,\dots ,N\}$, loi et espérance de $B$ ?

   Réponse : on trouve $B\left(\Omega \right)=\{1,\dots ,n\}$ et $p(B=k)={\displaystyle \frac{1}{n}}({\displaystyle \frac{1}{k}}+{\displaystyle \frac{1}{k+1}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n}})$, on vérifie, en écrivant en colonnes, que ${\sum }_{k=1}^{n}p(B=k)=1$.

   $E\left(B\right)=$${\displaystyle \frac{1}{n}}{\sum }_{k=1}^n{E}_{N=k}\left(B\right)=$${\displaystyle \frac{1}{n}}{\sum }_{k=1}^n{\displaystyle \frac{k+1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2n}}({\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)}{2}}-1)={\displaystyle \frac{n}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}$.

   Logiquement, $E\left(B\right)$ est plus petit que $E\left(N\right)$.

2. $X$ et $Y$ indépendantes et uniformes dans $\{1,\dots ,n\}$, calculer $p(X=Y)$.

   Réponse : $p(X=Y)={\sum }_{k=1}^{n}p(X=k)\times p(Y=k)={\displaystyle \frac{1}{n}}$.

3. On donne $X,$$Y$ des variables aléatoires indépendantes avec :

   ${\displaystyle \begin{array}{rcl}& X\sim U\left(2\right)& \\ & Y\sim U\left(m\right)& \end{array}}$

   Donner la loi de $X+Y$. Calculer $𝔼(X+Y)$ de deux manières (avec $𝔼\left(X\right)+𝔼\left(Y\right)$ puis avec $𝔼\left(Z\right)=\sum z_i\cdot p\left(z_i\right)$

6.3.Une binomiale sur une uniforme

1. $N$ uniforme dans $\{1,\dots ,n\}$ et $X\sim B(N,p)$, loi et espérance de $X$ ?

   Réponse : $X\left(\Omega \right)=\{1,\dots ,n\}$ et :

   ${\displaystyle \begin{array}{rcl}p(X=k)& =& \sum _{i=k}^{n}p(N=i)\times p_{N=i}(X=k)\\ & =& \sum _{i=k}^n\frac{1}{n}\times \left(\begin{array}{c}i\\ k\end{array}\right)p^k{q}^{i-k}\\ & =& \frac{1}{n}\times {\displaystyle \frac{1}{k!}}\times p^k\times (1+q\left(\begin{array}{c}k+1\\ k\end{array}\right)+q^2\left(\begin{array}{c}k+2\\ k\end{array}\right)+\cdots +q^{n-k}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)),\end{array}}$

   difficile à simplifier. Par contre l'espérance se simplifie facilement :

   ${\displaystyle \begin{array}{rcl}E\left(X\right)& =& \sum _{i=0}^{n}p(N=i)\times E_{N=i}\left(X\right)\\ & =& \sum _{i=0}^n\frac{1}{n}\times ip\\ & =& \frac{p(n+1)}{2}.\end{array}}$

   L'espérance est logiquement plus faible que celle de $B(n,p).$

6.4.Deux binomiales

1. $X$ et $Y$ indépendantes suivent $B(n,p)$, calculer $p(X=Y)$

   Réponse : utilise $\sum {\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{c}2n\\ n\end{array}\right)$ (voir fichier dénombrement). $p(X=Y)={\displaystyle \frac{1}{4^n}}{\displaystyle \left(\begin{array}{c}2n\\ n\end{array}\right)}$.