Probabilités

Table des matières

1.Probas totales 2

1.Tie-Break 2

2.N+1 urnes 2

3.Pile ou face 2

2.Probas conditionnelles & Bayes 2

2.1.Divers 2

2.1.1.Enfants 2

2.1.2.Buts 3

2.1.3.Tiroirs 3

2.1.4.Chèvre 3

2.2.Avec des suites assez simples 4

2.2.1.Dés 4

2.3.Avec des suites récurrentes 4

2.3.1.Deux urnes 4

2.3.2.Téléphone arabe 5

3.Indépendance 5

4.Avec des cartes 5

5.Petits exercices 5

6.Exercices variés avec des boules 6

6.1.Petits exercices 6

6.2.Avec n urnes 6

.

1.Probas totales

1.Tie-Break

Deux joueurs A et B jouent une suite de points indépendants. Lors de chacun d'eux, ils ont respectivement les probabilités p pour A et q=1-p pour B de gagner. Le vainqueur final est celui des deux joueurs qui le premier obtient 2 points de plus que son adversaire. Quelle est la probabilité pour que A soit vainqueur ?

On appellera E2k = « au bout de 2k points aucun joueur n'a gagné. » et A2k=« A gagne au 2k-ème point»

On partitionne par(A2k)k ce qui donne p(A)=kp(AA2k)=kp(A2k)=kp(E2k)×p2.

On a ensuite p(E2k+2)=p(E2k)×2pq donc p(E2k)=(2pq)k d'où

p(A)=p21-2pq
.

2.N+1 urnes

On se donne des urnes numérotées :

urne n°0

N boules noires

urne n°1

(N-1) boules noires+1 boule blanche

urne n°k

(N-k) boules noires+k boules blanches

urne n°N

N boules blanches

On choisit une urne au hasard de manière équiprobable. Dans l'urne choisie, on tire successivement des boules avec remise.

  1. Quelle est la probabilité πn que les n premières boules tirées soient blanches ?

  2. Que devient cette probabilité lorsque N+ ?

On partitionne par le choix de l'urne (Uk) :

dans la k-ième urne, p(n blanches successives)=(kN)n; donc en tenant compte du choix de l'urne :

p(n blanches successives)=πn=1N+1k=0N(kN)n.

Or, πnN01tndt=1n+1 par somme de Riemann.

3.Pile ou face

Deux joueurs lancent chacun n fois une pièce non truquée. Celui qui a tiré davantage de « pile » que l'autre a gagné. Calculer la probabilité p0 du match nul.

On partitionne par le nombre de piles (Xn=k) (du premier joueur) :

p0 = k=0n(( n k )(12)k(12)n-k)2 = (12)nk=0n(( n k ))2 = (12)n( 2n n )2.

(Pour la dernière ligne on peut voir le fichier dénombrement).

2.Probas conditionnelles & Bayes

2.1.Divers

2.1.1.Enfants

Mon voisin a deux enfants.

  1. Le plus jeune est une fille, quelle est la probabilité que l'autre soit aussi une fille ?

  2. L'un d'eux est une fille, quelle est la probabilité que l'autre soit aussi une fille ?

Réponses :

1) 1/2

2) p(FF)p(FG+FF+GF)=1/42/4=13.

2.1.2.Buts

Deux joueurs J1 et J2 tirent chacun un pénalty, qu'ils réussissent avec une probabilité de p pour J1 et q pour J2 (on a p,q]0,1[).

Soient B (resp N1,N2) le nombre de tirs réussis en tout (resp par J1, par J2).

Calculer p(B=2),p(B=1), p(B=0), puis p(N1=1|B.=1).

Interpréter pour p=q,p0,p1.

Nous avons :

Enfin :

pB=1(N1=1) = p(N1=1N2=0)p(B=1) = p(1-q)p+q-2pq.

Ceci donne, sachant qu'un seul but a été marqué, la probabilité que ce soit par 1 :

2.1.3.Tiroirs

1) Un objet a une chance p de se trouver dans ce meuble à 7 tiroirs. Sachant qu'on a fouillé sans succès les 6 premiers tiroirs, quelle est la probabilité qu'il soit dans le 7ème ? (les tiroirs sont équiprobables).

2) Idem avec n tiroirs et on a fouillé les n-1 premiers.

1) Soit S l'événement « l'objet est dans le 7ème tiroir » : p(S)=p7.

Soit N l'événement « l'objet n'est pas dans les tiroirs 1-6 » : p(N)=1-6p7, qu'on peut aussi attrapper par p(N)=(1-p)+p7.

Alors on demande p(S|N)=p(SN)p(N) mais SN c'est S d'où :

p(S|N.) = p/71-6p/7 = p7-6p.

On vérifie pour p=0 et pour p=1 (cela donne p(S|N)=1, logique).

2.1.4.Chèvre

Un candidat est placé devant trois portes, l'une cache une voiture, les deux autres chacun une chèvre. Il choisit au hasard la porte 1. L'animateur ouvre une autre porte qui dévoile une chèvre. Le candidat peut ouvrir la 1 ou 2. Quel est son intérêt ?

On peut généraliser à 100 portes et l'animateur en ouvre 98, voir ici

https://fr.wikipedia.org/wiki/Problème_de_Monty_Hall

Réponse : V=« la voiture est derrière la porte 1 ».

V'=« la voiture est derrière la porte restante ».

On a p(V)=13

Maintenant, il y a trois situations possibles :

porte : 1 2 3
C C V
C V C
V C C
.

Dans la situation 1, l'animateur a ouvert la porte 2, donc p(V')=1.

Dans la situation 2, l'animateur a ouvert la porte 3, donc p(V')=1.

Dans la situation 3, p(V')=0.

Ainsi, p(V')=13×1+13×1=23.

Conclusion : le joueur a deux fois plus de chances de gagner en changeant de porte…

2.2.Avec des suites assez simples

2.2.1.Dés

On dispose de 100 dés dont 25 sont pipés.

Pour chaque dé pipé, la probabilité d'obtenir le chiffre 6 lors d'un lancer vaut 1/2.

a) On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé et l'on obtient le chiffre 6. Quelle est la probabilité que ce dé soit pipé ?

b) Soit n un entier non nul. On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé n fois et l'on obtient n fois le chiffre 6. Quelle est la probabilité pn que ce dé soit pipé ?

c) Déterminer lim(pn). Interpréter ce résultat.

Réponses : 1/2 puis pn=11+13n-1 de limite 1.

2.3.Avec des suites récurrentes

2.3.1.Deux urnes

On dispose de deux urnes U1 et U2 contenant respectivement une proportion μ1 et μ2 de boules blanches.

On effectue des tirages successifs avec remise :

On note Bn l'événement : « la boule tirée au n-ème tirage est blanche ».

Déterminer pn=P(Bn).

On trouve p1=μ1+μ22 puis pn+1=pn×μ1+(1-pn)×μ2=(μ1-μ2)pn+μ2 d'où, en posant α=μ21-μ1+μ2 :

pn=(p1+α)(μ1-μ2)n-1+α .

Interprétation :

2.3.2.Téléphone arabe

Une information booléenne (oui/non), supposée vraie, passe par n intermédiaires avant de me parvenir. Sachant que chaque personne intermédiaire ment avec la probabilité p, quelle est la probabilité un que je reçoive la bonne information ? Calculer limun.

un+1=pun+(1-p)(1-un)=(2p-1)un+(1-p).

Point fixe α=1-p2-2p=12 d'où

un=12(2p-1)n+12
12 .

3.Indépendance

  1. On jette indépendamment deux dés, un blanc, un noir (non truqués). On note :

    Trouver un événement C tel que les événements A,B,C soient indépendants deux à deux mais pas trois à trois.

    Réponse : C= « les deux ont la même parité ».

    p(A)=p(B)=1/2 et p(C)=1/4+1/4=1/2 et AB=AC=BC d'où l'indépendance deux à deux. Ensuite, ABC=AB d'où la non-indépendance trois à trois.

4.Avec des cartes

  1. Dans un jeu de n cartes, il y a exactement 1 joker, on tire une main de n cartes, quelle est la probabilité d'avoir le joker dans la main ?

  2. Cinq cartes d'un jeu de cinquante deux cartes sont servies à un joueur de Poker.

    a) Quelle est la probabilité que celle-ci comporte exactement une paire d'As ?

    b) Même question sachant que le jeu distribué comporte au moins un As ?

  3. Un jeu truqué de 32 cartes : l'une des 31 cartes est remplacée par un second as de cœur. On tire n cartes simultanément. On note An= « le tirage permet de se rendre compte de la supercherie ».

    1. Calculer p(An).

    2. Calculer le n minimal tel que p(An)12.

    Réponse : a) p(An)=( 30 n-2 )( 32 n )=n(n-1)32×31

    b) p(An)12n2-n-4960.

    On résoud : n=1+19852, arrondi au supérieur à n=23.

5.Petits exercices

  1. Bleus et Rouges

    Sur Alphaïde une proportion p des individus est bleue le reste sont rouges. De plus une proportion q est riche le reste sont pauvres.

    De plus on sait que 70% des bleus sont riches et 80% des riches sont bleus.

    Exprimer q en fonction de p.

    Réponse : on trouve q=p×8070.

  2. 30 billets de loterie dont n gagnants, j'en choisis deux, j'appelle G= « je gagne » (j'ai au moins un ticket gagnant). Résoudre en n :

    p(G)90%.

    Réponse : p(G)=1-( 30-n 2 )( 30 2 )=

    58n-n2-7830 et Δ=582-4×783=232 d'où n[22;35] soit n22.

  3. Arbres

    1. On donne p(A)=0,4 p(B)=0,6 pA(B)=0,4 , déterminer pA(B), p(AB) et pB(A).

      Réponses : pA(B)=0,9 ; p(AB)=0,36 ; p(AB)=0,64 ; pB(A)=0,1.

    2. Soient A et B deux évènements avec p(A)>0. Comparer les probabilités

      conditionnelles p(AB|AB.) et p(AB|A.)

      Réponse : trivial car p(AB)p(A)

  4. On a (2n) cartons numérotés de 1 à 2n. On les mélange. Quelle est la probabilité qu'on obtienne à la fin les pairs d'abord et les impairs ensuite.

    Réponse : p=(n!)2×(n!)2(2n)!=1( 2n n ).

6.Exercices variés avec des boules

6.1.Petits exercices

  1. Une urne contient 4 boules blanches et 3 noires :

  2. Une urne contient 8 boules blanches et deux boules noires. On tire sans remise et successivement 3 boules de cette urne.

    1. Quelle est la probabilité qu'au moins une boule noire figure à l'intérieur du tirage ? Réponse 8/15.

    2. Sachant qu'une boule noire figure dans le tirage, quelle est la probabilité que la première boule tirée soit noire ? Réponse 3/8.

6.2.Avec n urnes

  1. On dispose r boules à l'intérieur de n urnes (avec rn), chaque urne pouvant contenir plusieurs boules. Les répartitions possibles sont équiprobables.

    a) Déterminer la probabilité de l'événement :

    A : « chaque urne contient au plus une boule »

    b) Déterminer la probabilité de l'évènement :

    B : « il existe une urne contenant au moins deux boules ».