Polynômes

Table des matières

1.Expression de P(X) connaissant ses racines 1

2.Divers 2

3.Racines symétriques 2

4.Division euclidienne 3

5.Factorisation de polynômes 3

5.1.Par diverses méthodes 3

5.2.Racines de l'unité dans 4

5.3.Divers 4

6.Équations dont l'inconnue est P 5

6.1.Petites équations en P 5

6.2.Une équation astucieuse 5

7.Utilisation de X= ou X=j 5

8.Racines symétriques 5

1.Expression de P(X) connaissant ses racines

Expliciter un polynome P(X)[X] tel que :

  1. Les racines simples de P(X) sont 12+,12- et 1 est racine double.

    Réponse : P(X)=X4-3X3+4,25X2-3,5X+1,25. (vérifié dans maxima)

  2. Les racines de P(X) sont exactement ,-,2+1,-2+1.

    Réponse : P(X)=X4-2X3+2.25X2-2.0X+1.25. (vérifié dans maxima)

  3. Les racines de P(X) sont exactement 3,2,-2,-3,1+5,1-5.

    Réponse : P(X)=X6-2X5+X4+10X3-24X2-12X+36. (vérifié dans maxima)

  4. P est de degré 4 et P(-2)=P(2)=P(2)=P'(2)=0 et P(1)=3.

    Réponse : P(X)=-3(X2-2)(X-2)2=-3X4+12X3-6X2-24X+24.

  5. P est de degré 6 et possède les trois racines suivantes :

    4+2, 52+4+32, 52+4-32.

    Il est conseillé d'utiliser l'une des deux relations suivantes :

    (z-a)(z-a)=z2+|a|2-2z(a) ou : (z-x-y)(z-x+y)=(z-x)2+y2

    On pourra exprimer les coefficients en décomposition en facteurs premiers pour éviter de grosses multiplications.

    Réponse : (vérifié dans maxima)

    P(z) = (z-4-2)(z-4+2)×(z-52+4-32)(z-52-4-32)××(z-52+4+32)(z-52-4+32) = (z2+20-8z)×(z2+(11+23)-5z)×(z2+(11-23)-5z) = (z2+20-8z)×(z4-10z3+47z2-110z+109) = z6-18z5+147z4-686z3+1929z2-3072z+2180 = z6-2×32z5+3×72z4-2×73z3+3×643z2-3×210z+10×218.

    Maxima :

    (%i15) 

    expand((X-1-%i*sqrt(3))*(X-1+%i*sqrt(3))*(X+1-%i*sqrt(3))*(X+1+%i*sqrt(3)))

    (%o15) X4+4X2+16

    (%i13) 

    %i^2

    (%o13) -1

    (%i14) 

    
                      

2.Divers

  1. Déterminer k=0nk3 en trouvant un polynôme P de degré 4 tel que P(X+1)-P(X)=X3 (voir fichier « séries »).

  2. Sommes doubles :

    1. P(X)=k=0nXk, exprimer (P(X))2 sans utiliser de fraction.

      Réponse :

      (P(X))2 = 0k,nXk+ = m=02nXmk+=m0k,n1 = m=0n-1(m+1)(Xm+X2n-m)+(n+1)Xn . = m=0n-1(m+1)Xm+p=n+12n(2n-p+1)Xp+(n+1)Xn = 1+2X+3X2+nXn-1+(n+1)Xn+nXn+1++X2n

      Exemple pour n=5 :

      (P(X))2=1+2X+3X2+4X3+5X4+6X5+5X6+4X7+3X8+2X9+X10.

      On peut procéder à une vérification en prenant X=1.

    2. P(X)=p=1npXp et Q(X)=p=1nXp, exprimer P(X)×Q(X).

      Réponse :

      P(X)×Q(X) = m=02nXmp+q=m0pnp P(X)×Q(X) = m=0nXm(0+1++m)+m=n+12nXm(n+(n-1)++(m-n)) P(X)×Q(X) = m=0nm(m+1)2Xm+m=n+12nm2(2n+1-m)Xm .

3.Racines symétriques

  1. Trouver les λ tels que le polynôme X3-7X+λ admette une racine qui soit le double d'une autre.

    Si a,b,c sont les racines avec a=2b alors on a :

  2. Factoriser P(X)=X4+12X-5 dans [X] sachant que P possède deux racines de somme 2.

    Réponse : si a,b,c,d sont les racines de P, avec a+b=2, alors on a :

    { c+d=-2 ab+cd=4 ab-cd=6 abcd=-5 .,

    d'où ab=5 et cd=-1 d'où (a,b)=(1±2) et (c,d)=(-1±2) d'où :

    P(X)=(X2-2X+5)(X2+2X-1).

4.Division euclidienne

  1. Division euclidienne de P(X) par (X-a)2 : exprimer le reste en fonction de P(a) et P'(a).

    Réponse : R(X)=P'(a)X+P(a)-aP'(a).

  2. Soient a un réel P un polynôme tels que P(a)=0. Démontrer que P(X) peut être factorisé par (X-a).

    Méthode 1 : on divise P(X)=(X-a)Q(X)+R(X) avec R=1 et on prend X=a.

    Méthode 2 : on écrit P(X)-P(a) et on utilise l'identité :

    (an-bn)=(a-b)(an-1+an-2b++abn-2+bn-1).

  3. On pose mn. Déterminer (Xm-1)(Xn-1).

    On effectue la division euclidienne m=nq+r ;

    puis on commence l'algorithme d'Euclide.

    pour cela on utilise l'identité :

    Xm-1=(Xn-1)(Xm-n+Xm-2n++Xm-qn)+(Xm-qn-1),

    qui généralise la fameuse Xm-1=(X-1)(Xm-1++1).

    Ensuite on est donc amené à traiter Xn-1 et Xm-qn-1=Xr-1.

    De fil en aiguille, si mn=s alors le dernier reste non nul est Xs-1.

5.Factorisation de polynômes

5.1.Par diverses méthodes

  1. Factoriser P(X)=X4+1.

    Factorisation canonique : P(X)=(X2+1)2-2X2=(X2+1-X2)(X2+1+X2)

    Par les complexes :

    P(X) = (X2-)(X2+) = (X-eπ/4)(X+eπ/4)(X-e-π/4)(X+e-π/4) = (X-eπ/4)(X-e-π/4)(X+eπ/4)(X+e-π/4) = (X2-X2+1)(X2+X2+1).

  2. Factoriser P(X)=X4+X2-6.

    Factorisation canonique : P(X)=(X2+12)2-254=(X2-2)(X2+3).

    Bicarrés : X2+X-6=(X-2)(X+3) donc X4+X2-6=(X2-2)(X3+3).

  3. Factoriser P1(X)=X4+X2+1 puis P2(X)=X4-X2+1, et enfin Q(X)=X8+X4+1.

    On utilise une sorte de factorisation canonique en partant de (X2+1)2 :

    P1(X)=(X2+1)2-X2=(X2-X+1)(X2+X+1) et

    P2(X)=(X2+1)2-3X2=(X2-X3+1)(X2+X3+1).

    Ainsi, Q(X)=P1(X2)=P1(X)P2(X).

  4. Factoriser : f(X)=2X2+X-1 ; g(X)=9X2-6X+1 ; h(X)=X2+X+1.

  5. Factoriser : f(X)=X-X3 ; g(X)=X3+12X2+8X-3 ; h(X)=1-X3.

  6. Factoriser : f(X)=1-X6 ; g(X)=1-X4 ; h(X)=X2-X10.

5.2.Racines de l'unité dans

  1. Factoriser P(X)=X5-1.

    Réponse :

    P(X) = k=04(X-e2kπ5) = (X-1)(X-e2π5)(X-e-2π5)(X-e4π5)(X-e-4π5) = (X-1)(X2-2cos(2π5)X+1)(X2-2cos(4π5)X+1).

    Directement :

    X5-1 = (X-1)(X4+X3+X2+X+1) =

5.3.Divers

  1. Factoriser dans [X] le polynome : P(X)=X6+X4-3X3-X+2.

    Solution. Déjà 1 est racine double et l'on trouve :

    P(X)=(X-1)2(X4+2X3+4X2+3X+2).

    Ensuite on peut chercher X4+2X3+4X2+3X+2=(X2+aX+b)(X2+cX+d) par identification et chercher des valeurs entières pour a,b,c,d. On trouve :

    P(X)=(X-1)2(X2+X+1)(X2+X+2) .

  2. Factoriser dans [X] : P(X)=X2n-2cos(na)Xn+1.

    Solution. On pose Y=Xn. On résoud donc Y2-2cos(na)Y+1=0 on trouve SY={ena;e-na}.

    Ensuite, on a :

    Xn=ena donne Xk=eae2kπn, Xn=e-na donne Xk=e-ae2kπn.

    On associe les racines conjuguées : (X-Xk)(X-Xk)=X2+1-2cos(a+2kπn), d'où :

    P(X)=k=0n-1(X2+1-2cos(a+2kπn)) .

  3. Factoriser dans [X] : P(X)=3X4+11X3+20X2+7X-5, sachant que P a toutes ses racines dans .

    Solution. On a tout de suite P(X)=(X+1)(3X+a)(X2+bX+c) puis :

    { a+3b=8 a+ab+3(b+c)=20 a(b+c)+3c=7 ac=-5 . { a=8-3b 8b-3b2+3c=12 ac=-5, .

    on en déduit par substitution c=-5a=-58-3b d'où 8b-3b2-158-3b=129b3-48b2+100b-111.

    b=3 est racine évidente, on en déduit les deux autres : b=7±3116 mais b doit être réel.

    On a donc :

    (a=-1;b=3;c=5).

    On vérifie que le discriminant de X2+3X+5 est négatif.

6.Équations dont l'inconnue est P

6.1.Petites équations en P

  1. Trouver les P(X) tels que P(X2)=(X2+1)P(X).

    Réponse : degré 2 et P(X)=λ(X2-1).

  2. Trouver les P(X) tels que (P'(X))2=4P(X).

    Réponse : degré 2 et P(X)=X2+bX+b24.

  3. Trouver les P(X) vérifiant P(2X)=P'(X)P''(X).

    Solution : en regardant le terme de plus haut degré on obtient :

    an×2nXn=(nanXn-1)(n(n-1)anXn-2) { n=2n-3 2nan=n2(n-1)(an)2. .

    La première ligne donne n=3 et la seconde donne 8a3=18(a3)2 donc a3=49.

    On cherche les autres coefficients, on les trouve nuls, d'où :

    P(X)=49X3
    .

  4. Trouver les a tels que P(X)=X5-209X+a admette (entre autres) deux racines dont le produit fait 1.

    Solution. Il faut que X2+αX+1 divise P(X). On procède à la division euclidienne :

    { α4-3α2-208=0 α=±4 a=-α3+2α = a=±56. .

    Ainsi, on a les solutions suivantes :

    a=56 α=-4 donc les racines de produit 1 sont 2±3; a=-56 α=4 donc dans ce cas on trouve -2±sqrt(3).

6.2.Une équation astucieuse

6.2.1.Résoudre P(X2)=P(X)P(X+2)

Les considérations sur le terme de plus haut degré donnent : anX2n=(an)2X2n d'où an=1 : le polynome est unitaire.

Intéressons-nous maintenant aux racines de P :

Si z est racine, z2 l'est aussi et donc tous les élements de l'ensemble {z,z2,z4,,z2n,} sont des racines de P donc cet ensemble doit être fini, donc soit z=eθ avec θ soit z=0.

Supposons que P possède 0 comme racine. Alors en prenant X=-2, on a que 4 serait racine: impossible.

Soit z=eθ une racine de P, prenons X=eθ/2, on a alors :

Ainsi, en éliminant le cas z=-1, on a, pour chaque racine z=eθ avec θ]-π,0[]0,π[, une infinité de racines {eθ,eθ/2,,eθ/2n,} pour P : impossible.

Au final, P(X)=(X-1)b(X+1)c et la relation de départ donne c=0.

P(X) s'écrit donc P(X)=(X-1)n .

L'équation s'écrit alors : (X2-1)n=(X-1)n(X+1)n ce qui est vrai pour tout n.

On remarque que le cas n=0 fonctionne aussi.

6.2.2.Polynômes P tels que P(X) et P(X+1) divisent P(Xn)

n2 est fixé et on note E l'ensemble des racines de P distinctes de 0 et de 1.

Les polynômes P sont supposés non constant dans tout l'exercice.

  1. On exploite ici (question 1) seulement le fait que P(X) divise P(Xn).

    1. Soit αE, montrer que α est une racine de l'unité.

      Réponse : αn est aussi racine donc tous les (αn)p,p, aussi, or P a un nombre fini de racines.

      Soit m(α)=inf{k1/αk=1}.

    2. Soit μ={m(α),αE} désigne le ppcm.

      Montrer que tout αE est racine μ-ème de l'unité.

      Réponse : évident.

  2. On suppose maintenant que P(X) et P(X+1) divisent P(Xn).

    Soit αE

    1. Montrer que (α-1)nE, puis que α et α-1 sont racines nμ-èmes de l'unité.

      Réponse : α et α-1 sont dans E donc αn et (α-1)n aussi donc sont racines μ-èmes de l'unité.

    2. En déduire que E contient au maximum 2 éléments et dire lesquels.

      Réponse : évident, α=-? ou α=-?2.

    On a donc montré que les seules racines possibles pour P sont -?,-?2,0,1.

  3. On suppose dans cette question que n3. Trouver les polynômes P répondant à l'énoncé.

    Réponse :

  4. Si n=6k+3, montrer qu'aucun P n'est possible.

    Réponse :

  5. Si n=6k, alors P(x)=λXa(1-X)b(X+?)c(X+?2)d, conditions sur a,b,c,d.

7.Utilisation de X= ou X=j

  1. Pour quelles valeurs de n a-t-on :

    X2+X+1|(X+1)n-Xn-1 (1)

    Solution. ()(j+1)n=jn+1, or j+1=-j2=-j et donc :

    () entraîne, au choix : (-1)nj2n=jn+1 ou (-1)njn=jn+1.

    La seconde écriture est plus pratique, et l'on a :

    • pour n=2p+1 :

      e2nπ/3+e-2nπ/3=-1 2cos(2nπ3)=-1 n non multiple de 3 ;
    • pour n=2p :

      e2nπ/3-e-2nπ/3imaginaire pur !=-1 impossible ;

    et donc la réponse est : n impaire non multiple de 3 soit :

    n±1[6]
    .

  2. Exercice similaire : Reste de la division euclidienne de (X+1)n-Xn-1 par X2+X+1.

    Solution. Le reste s'écrit R(X)=aX+b et l'on a (j+1)n-jn-1=aj+b d'où :

    • si n=3k, alors a=0 et b=(-1)n-2 ;

    • si n=3k+1, alors a=b=(-1)n-1-1 ;

    • si n=3k-1, alors b=0 et a=(-1)n+1.

    On vérifie que pour n±1[6], on a R(X)=0.

  3. Reste dans la division euclidienne de (Xcost+sint)n par (X2+1).

    On écrit (Xcost+sint)n=(X2+1)Q(X)+aX+b, puis on prend X= :

    ne-nt=a+b, (2)

    d'où :

    Conclusion :

    { a = sin(-nt+nπ2) b = cos(-nt+nπ2) . .

8.Racines symétriques

  1. On note a,b,b les racines de P(X)=X3-X+1.

    1. Vérifier qu'effectivement, P possède une seule racine réelle.

    2. On pose c=b. Calculer a7+b7+c7.

    Solution. a) Variation : posons f(t)=t3-t+1, alors f'(t)=3t2-1 de racines ±13 et il reste à calculer :

    f(13)×f(-13) = (1+(133-13))×(1-(133-13)) = 1-(133-13)2 = 1-(127+13-29) = 1-427>0,

    donc deux racines complexes, une réelle.

    b) Calcul : en écrivant a7=a3×a3×a, on aboutit à a7=2a-1-2a2.

    Si donc l'on pose { σ1=a+b+c=0 σ2=ab+bc+ca . alors on a :

    a7+b7+c7=2σ1-3-2(a2+b2+c2).

    On remarque que (a+b+c)2=(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca) et l'on en déduit que a2+b2+c2=-2σ2=2 d'où :

    a7+b7+c7=-7 .

  2. On pose P(X)=X3-(2+2)X2+2(1+2)X-22, on note a,b,c les trois racines de P et σ1,σ2,σ3 ses trois fonctions symétriques.

    Soit Q(X) le polynome unitaire de racines a2,b2,c2.

    1. Trouver les trois fonctions symétriques σ1',σ2',σ3' de Q(X).

    2. Trouver l'expression de Q(X).

    3. Trouver a,b,c.

    Solution. On a :

    { σ1=a+b+c=2+2 σ2=ab+ac+bc=2(1+2) σ3=abc=22, .

    donc :

    { σ1'=a2+b2+c2=(σ1)2-2σ2=2 σ2'=a2b2+a2c2+b2c2=(σ2)2-2σ3σ1=4 σ3'=(abc)2=(σ3)2=8. .

    Ainsi,

    Q(X)=X3-2X2+4X-8
    . Les racines évidentes sont rapides à trouver : 2,±2 .

    Du coup, {a,b,c}{±2,±(1+),±(1-)} et par σ1 on trouve que seules les positives vont donc :

    {a,b,c}={2;1±} .