Exercices pour débutants

Table des matières

1.Ensembles 1

2.Quantificateurs 1

2.1.Divers 1

2.2.Ensembles 2

3.Fonctions réelles 3

3.1.Exercices bêtes 3

3.2.Études de fonctions 3

3.3.Bijections réciproques 3

4.Min et Max 3

5.Géométrie 3

6.Équations/Inéquations dans 4

6.1.Résolution par (analyse) étude d'une fonction 4

6.2.Résolutions par algèbre mais l'analyse aide à voir 5

6.3.Résolution en distinguant des cas 5

1.Ensembles

Remarque 1. Deux ensembles E et F étant donnés, on note EΔF leur différence symétrique :

EΔF=(E\F)(F\U)=(EF)\(EF)

Soient A,B,C trois sous-ensembles d'un ensemble E.

  1. Montrer que A=BCΔB=CΔA.

2.Quantificateurs

2.1.Divers

  1. Donner un exemple d'un couple de fonctions (f,g) vérifiant :

    x,f(x)×g(x)<0 et x,y>x,f(y)×f(x)<0

  2. Donner un exemple de fonctions f,g vérifiant la propriété suivante :

  3. (14) On considère une suite (un) vérifiant :

    ε>0,n,pn,|uo|<ε.

    Est-ce que cela veut dire que lim(un)=0 ?

  4. Soit f: une fonction. Exprimer avec les quantificateurs les situations suivantes :

  5. Soit (un) une suite réelle. Exprimer avec les quantificateurs les situations suivantes :

  6. (1) Soient f,g: deux fonctions.

  7. Pour chacune des propositions suivantes, donner un exemple de fonctions f,g vérifiant la propriété énoncée :

  8. Soient f,g: deux fonctions. Trouver l'intrus parmi les trois phrases suivantes :

  9. Inventer une fonction f: telle que :

    ε>0,y]-ε,ε[,f(y)=1.
  10. Représenter graphiquement un exemple de fonction f telle que (les questions sont indépendantes) :

    1. x,yx/f(y)=2

    2. x,yx/f(y)=2

  11. x un réel fixé tel que ε>0,n/|x-n|<ε. Que dire de x ?

  12. x un réel fixé tel que n,p/x-n=p. Que dire de x ?

2.2.Ensembles

Pour chaque propriété suivante, trouver un exemple de partie A vérifiant cette propriété, et un contrexemple de partie A' ne la vérifiant pas :

  1. aA,MA/aM.

    Réponses :

    A=[0,1] ou ]-,1]
    A'=[1,+[
    .

  2. aA,MA/a<M.

    Réponses :

    A=[0;+[ ou [0;1[
    A'=[0,1]
    .

  3. aA,yA/|a-y|=1.

    Réponses :

    N'importe quel A[0;2]
    N'importe quel A']0;2[
    .

    On peut proposer des exemples de demander de voir si ça convient :

    X=[-1;0] ou X=+ ou X= ou X={0}.

  4. aA,yA/|a-y|<1.

    Réponses :

    A=\
    A'= ou A'=
    .

  5. aA,[a-1/2;a[]a;a+1/2]A=.

    Réponses :

    A=
    A'=
    .

3.Fonctions réelles

3.1.Exercices bêtes

  1. La fonction f(x)=ln(tan2x+1-1cos2x) admet-elle une limite en 0 ?

    Réponse : non car elle n'est… jamais définie.

3.2.Études de fonctions

  1. Soit f définie sur par :

    f(x)=exp(1-1ln2|x|+1).
    1. Nombre de solutions de l'équation f(x)=k (discuter suivant k).

3.3.Bijections réciproques

Trouver la bijection réciproque des fonctions suivantes. Bien gérer les intervalles.

Si l'on connaît, on peut aussi vérifier la dérivée.

  1. Ga,b(x)=exp(-ax-b2x2) avec a,b>0 (extrait de HEC 2017 ECE) ;

  2. f(x)=x+x.

4.Min et Max

  1. On considère les deux fonctions f et g définies par f(x)=1x et g(x)=2x et leur courbe Cf et Cg. Soit O l'origine du repère. Une demi droite D d'origine O coupe Cf et Cg en A et B. Est-ce que OB est le double de OA ?

5.Géométrie

  1. On pose f(x)=x2. Pour tout réel a, on note Aa (respectivement Ba) le point de la parabole d'abscisse a (respectivement -1a) et Ta (respectivement Ta') la tangente à Cf en Aa (respectivement Ba).

    1. Déterminer les coordonnées du point d'intersection entre Ta et Ta'.

      Réponse : Ma(a2-12a;-1).

    2. Soit M(b,-1), déterminer le réel a tel que Ta et Ta' se coupent en M.

      Réponse : { a = b-b2+1 -1a = b+b2+1; .

    3. Montrer que les droites {(AaBa),a} sont concourrantes.

      Réponse : en (0;1).

  2. On considère la figure suivante :

    Figure 1. Plusieurs triangles.

    On colorie, soit en bleu, soit en rouge, les points nommés sur la figure.

    Énoncer le contraire de la proposition suivante : « quel que soit le coloriage, parmi tous les triangles équilatériaux de la figure, il y en a obligatoirement un de couleur uniforme ».

    La propriété est-elle vraie ?

    Réponse :

    Figure 2.

6.Équations/Inéquations dans

6.1.Résolution par (analyse) étude d'une fonction

  1. Résoudre :

    -xlnx22 .

    Réponse : 1e<12 d'où S=Df=]0;1].

    Figure 3. Courbe de xxlnx.

  2. Montrer que la fonction f(x)=x4-3x2+2 n'admet aucune racine réelle, mais que la fonction g(x)=x5-3x2+2 en admet exactement une.

    Pour g, il y a un minimum local x0=653 et g(x0)=-95(x0)2+2 et g(x0)>025000>1622 si mes calculs sont bons.

  3. Utilisation de la fonction xlnxx

    1. Trouver m=Max{nn,n}

      Réponse : xx1/x a son max en x=e, reste à comparer 21/2 et 31/3 en élevant à la puissance 6 d'où m=9 (pour n=3).

    2. Trouver les a<b tels que ab=ba

      Réponse : cela revient à résoudre lnaa=lnbb et l'on trouve a]1,e[ d'où a=2 d'où 24=42 l'unique solution.

  4. Soit l'équation ax3+bx+c=0, déterminer une grandeur (un discriminant) qui permettra de savoir le nombre de solutions de cette équation.

    En étudiant les variations de f:xax3+bx+c on aboutit à :

  5. Démontrer que pour tout réel x on a x6-x5+x4-x3+x2-x+34>0.

    Dans ]0,1[, le min de x(x-1) est -1/4. Et au pire, le coefficient de "dilatation" (1+x2+x4) vaut 3.

    On pouvait aussi dans ]0,1[ résoudre -x×1-(-x)61+x>-34-x(1-x6)+34(1+x)>0, on a un min pour -1+7x6+34=0x=(128)16 qui vaut -x×2728+34(1+x)=-3x14+34>0.

6.2.Résolutions par algèbre mais l'analyse aide à voir

  1. Résoudre :

    e-1-x21e (E).

    Réponse : S=[-1;-32][32;1].

    Figure 4. Courbe de xe-1-x2.

    Sinon directement :

    E-1-x2-121-x21201-x21434x21

6.3.Résolution en distinguant des cas

  1. Exo génial pour apprendre à distinguer des cas sur une situation simple :

    Résoudre :

    1a+1ba+b .

    Réponse : on peut écrire a+baba+b et discuter suivant le signe de a+b, ou bien opérer directement une règle des signes par a+bab(1-ab)0.

    Figure 5. Solutions de 1a+1ba+b.

  2. Résoudre :

    xyx+y

    Réponse :

    Figure 6. Solutions de xyx+y