1.Applications

1.1.Généralités

  1. Soit E un ensemble fini et a un élément fixé de E. Soit φ: P(E) P(E) qui à AE associe A\{e} ou A{e} selon si e est ou non dans A.

    φ est-elle surjective ? injective ?

  2. Questions-piège : Si l'application f est injective, sa fonction réciproque est-elle injective aussi ? Et si f est surjective ?

  3. Soit f:AB injective et g:BC surjective, avec A,B,C des sous-ensembles simples de ( lui-même ou + par exemple). Peut-on affirmer que gf est injective ? surjective ?

  4. Même question avec f surjective et g injective.

  5. Si f:AA injective, montrer que ff injective aussi.

  6. Même question en remplaçant « injective » par « surjective »

  7. Soit I l'ensemble des entiers naturels impairs. Décrire de la manière que l'on veut (expression formelle ou schéma) :

    1. une application a:I qui est injective non surjective. Réponse : l'identité

    2. une application b:I qui est bijective. Réponse : f(n)=(n-1)/2.

    3. une application c:I qui est surjective non injective. Réponse : f(n)=

1.2.Avec des fonctions réelles

  1. On pose f définie sur par f(x)=x3+ax2+bx, discuter suivant a et b de l'injectivité et de la surjectivité de f.

  2. Est-il possible d'avoir (si non, pourquoi, si oui en trouver une) une fonction f définie sur et vérifiant (les questions sont indépendantes) :

    1. f injective mais f2 non ;

    2. f injective mais ef non.

  3. On pose f(x)=2-x1+x, démontrer que f est bijective (de quel ensemble vers quel ensemble ?) et déterminer la bijection réciproque.

  4. On pose : f:{ Df + x |x|1+|x| ., cette fonction est-elle injective ? surjective ? Si non, trouver A,B telle que f soit bijective et déterminer la bijection réciproque.

  5. On pose f:{ Df + x x2-x+a .a. Discuter suivant a de l'injectivité et de la surjectivité de f.

  6. Soit f: strictement croissante, montrer que f est injective.

  7. Soit f:. On suppose que x,y>x/f(x)=f(y). f peut-être être surjective ?

  8. f: strictement croissante est-elle forcément injective ? surjective ?

  9. Donner des exemples de fonctions f: telles que (questions indépendantes) :

  10. Pour chaque fonction suivante :

    a:{ xex ., b:{ + xln(x) ., c:{ xx3-x ., d:{ xx2 ., e:{ xx .,

    dire si elle est :

    1. f bijective

    2. f injective mais non bijective ;

    3. f surjective mais non bijective ;

    4. f bijective mais f2 non bijective.

  11. Injectivité :

    1. Peut-on trouver un exemple de fonction f: (avec Df=) telle que f injective et f non monotone.

    2. Peut-on trouver un exemple de fonction f: (avec Df=) telle que f non injective et f monotone.